请问老师，对自己单位能否起诉工伤和没有及时签订劳动合同？对被检查单位能否起诉交通事故？ （1）.5月份进入公司报到，当天被安排到公司分部上班。8月底时分部要我签公司合同，我签字了，时间签我入职的时间，签的时候合同后页有一份是否已有社保，不需要公司买社保，我签字是选择不需要。
现在，公司说今天分部才把合同交给公司，说如果我确实不想让公司交社保就重新签字，按手印；并且，劳动合同上的签字日期，公司领导甲方签字不可能再签5月份了。

我说我是5月份入职上班，公司领导就应该签5月份的。
我有工资证据.

（2）.另外 ，我9月份在上班期间发生车祸，公司安排去检查工地发生的，公司没有报工伤，没有出医疗费，费用是让被检查单位出的钱，还有后期手术。但现在被检查单位也不愿意出钱了，毕竟我是坐被检查单位的车出事故的。交警队出了责任认定书，我没有责任，但对方没签字。

请问老师，对自己单位能否起诉工伤和没有及时签订劳动合同？对被检查单位能否起诉交通事故？

可以申请劳动仲裁和工伤认定的

可以申请劳动仲裁和工伤认定的

答:能够证明存在事实上的劳动关系时，可以申请工伤认定。

1、工伤。单位未在出事30天内申请的，员工及家属应在出事后一年内先行工伤认定，再伤残鉴定，然后索赔。工伤赔偿包括：医疗费、停工留薪期工资、住院伙食补助、护理费、交通费住住宿费、一次性伤残补助金，如解除劳动关系的，还有一次性就业补助金和一次性医疗补助金，等等。具体数额须结合本人工资和当地标准等情况确定。
2、有权要求双倍工资。
单位没有交社保的，双倍工资、工伤赔偿都可仲裁。